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Zufallsgeber in Geldspielgeräten

von Wolfgang Scheibe, Berlin

wissenschaftlicher Mitarbeiter im Labo­ratorium für Spielgeräte und Hygrometrie der Physikalisch­Technischen Bundesanstalt, Institut Berlin.

Zufallsmäßig erzeugte Zahlenfolgen, wie wir sie bei­spielsweise vom Roulette her kennen, werden auf den verschiedensten Gebieten angewendet. So erfolgt die Qualitätsprüfung in der industriellen Massenfertigung anhand einiger weniger zufallsmäßig ausgewählter Ein­zelstücke der Serie. In der Statistik werden zufällige Zahlenfolgen benötigt, um eine Auswahl des zu unter­suchenden Zahlenmaterials zu ermöglichen.

1Gewisse mathematische und physikalische Probleme nichtstatistischer Art werden dadurch gelöst, daß man diesen bekannte Wahrscheinlichkeitsprobleme zuordnet und die Monte-Carlo-Methode anwendet; hierzu sind längere Folgen von Zufallszahlen erforderlich [1]. Her­gestellt werden derartige Zufallsfolgen mit Vorrichtun­gen, die man als Zufallsgeber bezeichnet. Für kleine Zufallsfolgen kann dies ein Würfel, ein Roulette sein, für umfangreiche Zufallsfolgen ist es ein Rechenautomat [2] oder ein elektronischer Zufallsziffernangeber [3].

Die Anwendung eines Zufallgebers beschränkt sich nicht nur auf die Erzeugung zufälliger Zahlenfolgen, vielmehr lassen sich auch zufällig folgende Schaltspiele erzeugen, mit denen man Maschinen steuern kann. So sind Geräte bekannt, welche die automatische Verschlüsselung von Fernschreibnachrichten gestatten [4]. In derTextilindustrie werden zur Vermeidung unerwünschter Interferenz­muster Textilmaschinen nach Zufallsfolgen gesteuert [5]. Als Zufallsgeber dienen hier elektrische oder durch radioaktive Substanzen erzeugte Impulse. Schließlich werden die Merkmalsträger von Geldspielgeräten zu­fallsmäßig gesteuert. Der nachstehende Beitrag zeigt

A) mit welchen Methoden eine Zufälligkeit festgestellt werden kann und

B) welche Anforderungen von einem Steuerorgan eines Geldspielgerätes erfüllt werden müssen.

A) Zufällige Zahlenfolgen

2Um die Frage zu klären, ob die von Spiel zu Spiel ange­zeigten Merkmale zufallsmäßig aufeinander folgen, greift man auf das Kriterium für zufällige Zahlenfolgen zurück, wie es in der Statistik und Wahrscheinlichkeits­rechnung definiert ist [3] [6].

Eine Folge von Zufallszahlen (o°-Zahlenfolge) ist ein Kollektiv, in dem für kein Glied irgendein Merkmal als besonders wahrscheinlich vorausgesagt werden kann, und zwar weder auf Grund seiner Häufigkeit innerhalb des Kollektivs noch auf Grund der Nummer des Gliedes.

Somit ergibt sich als Kriterium für die Zufälligkeit einer Zahlenfolge die Erfüllung der beiden folgenden Forde­rungen:

1. Die Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung: Sie ist er­füllt, wenn jedes Merkmal innerhalb des Kollektivs mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt.

2. Die Regellosigkeits-Forderung: Sie ist erfüllt, wenn für jede beliebige Teilfolge die Gleichwahrscheinlich­keits-Forderung erfüllt ist, wobei die Teilfolge nicht nach deren Merkmalen zusammengestellt werden darf.

Auf unser Problem übertragen, wird man eine große Anzahl**) von Spielen durchführen müssen und die Er­gebnisse der mit 0-9 indizierten Merkmalsträger (für 10 Merkmale) registrieren.

Das Ergebnis gibt die Häufigkeit für das einzelne Merk­mal an. Ist sie für die einzelnen Merkmale gleich groß, so ist die Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung erfüllt.

3Zur Prüfung der Regellosigkeitsforderung hat es sich als zweckmäßig erwiesen, eine Zahlenfolge aus der Differenz zweier aufeinander folgender Zahlen der o°-Zahlenfolge zu bilden. Diese neue A,-Zahlenfolge wird wie die A°-Zahlenfolge auf die Gleichwahrschein­lichkeit der Merkmale untersucht. Sie zeichnet sich im übrigen dadurch aus, daß durch sie die Änderung der Merkmale zwischen zwei Spielen eindeutig charakteri­siert wird.

** Im strengen Sinne derWahrscheinlichkeitsrechnung stellen z. B. 1000 Spiele noch keine große Anzahl dar. Mit Ab­weichungen von der theoretischen Häufigkeit p, die bei kleinerem Kollektiv um so größer sind, ist daher zu rech­nen. Sie sind in dem Tafelwerk von Koller [7] zusammen­gestellt. Danach beträgt für n = 1000 Spiele und p = 10% die obere Abweichung 30/o und die untere Abwei­chung 2,8 %, d. h. um der Gleichwahrscheinlichkeitsforde­rung zu genügen, muß bei 1000 Spielen jedes der 10 Merk­male zwischen 130 und 72 mal erscheinen. Eine näherungs­weise Berechnung der zulässigen Häufigkeit läßt sich für n Z 1000 über die Bestimmung der 3 a-Grenze mit a = V n. p. q durchführen, wobei n = Zahl der Spiele, q = theoretische Häufigkeit für das Nichterscheinen des Merk­mals, p = theoretische Häufigkeit für das Erscheinen eines Merkmals, p + q = 1 ist.

B) Steuerorgan in Geldspielgeräten

Die wesentlichen Bestandteile der Geldspielgeräte sind um ihre Achsen bewegliche Scheiben oder Walzen mit darauf angeordneten Merkmalen. Bei mechanisch ange­triebenen, d. h. von Hand betriebenen Geraten, werden die Merkmalsträger über einen Hebelmechanismus zur freien Rotation gebracht und, ehe sie infolge Reibung zum Stillstand kommen, durch gesteuerte Rasthebel an­gehalten. Im Gegensatz dazu sind die Merkmalsträger der elektrisch betriebenen Geräte mit einem Motor starr gekoppelt, und die Steuerung des Spielablaufes erfolgt über einen Programmgeber. Als Folge der Programm­steuerung resultiert eine nahezu konstante Laufzeit der Merkmalsträger (Abb. la) und damit eine unerwünschte Vorherbestimmbarkeit des erscheinenden Ereignisses aus der Kenntnis der Ergebnisse vorheriger Spiele. Ein Zufallsgeber hat daher die Aufgabe, die Laufzeit regel­los zu variieren und damit ein zufälliges Erscheinen der Merkmale zu bewirken. Diese Aufgabe kann bereits von einem Bauelement, einem Schaltzeitvariator, erreicht werden, meistens ist dazu jedoch ein weiteres Bauele­ment, ein Anlaufvariator notwendig (Abb. lb).

4Mechanisch angetriebene Spielgeräte benötigen keine speziellen Zufallsgeber, da der von Hand bewirkte An­trieb des Merkmalsträgers und seine freie Rotation die Merkmale zufällig erscheinen läßt. Für elektrisch ange­triebeneSpielgeräte kommen vornehmlich die folgenden Typen von Schaltzeitvariatoren zurAnwendung: Nocken­scheibe mit Exzenterrädchen, Dose mit Distanzkörper, freilaufende Walze mit Schaltnocken und Trichter mit Schleuderkugel. Da die beiden erstgenannten haupt­sächlich verwendet werden, soll die vorliegende Arbeit auf die Behandlung dieser Variatoren beschränkt bleiben.

1) Geldspielgeräte mit außer Funktion gesetztem Zufallsgeber

Zunächst soll gezeigt werden, welche Häufigkeitsver­teilung an Geräten zu beobachten ist, bei denen der Zu­fallsgeber, also der Schaltzeit-und Anlaufvariator,außer Funktion gesetzt ist. Aus Abb. 2 ist zu ersehen, daß die Häufigkeitsverteilung der einzelnen Merkmale zwar der Gleichwahrscheinlichkeitsforderung entspricht; dagegen weist die o1-Verteilung mit den Differenzen 0 und 1 eine ausgesprochene Bevorzugung auf, während die Diffe­renzen 4, 5 und 6 überhaupt nicht auftreten. Dieses Er­gebnis zeigt, daß der Merkmalsträger bereits allein durch seine Antriebsorgane eine gewisse Variation der Laufzeiten erfährt (Abb. l a), die jedoch nicht ausreicht, um die geforderte Zufälligkeit zu erreichen.

2) Geldspielgeräte mit Zufallsgeber

Damit Geldspielgeräte auch die schwieriger zu errei­chende Regellosigkeitsforderung neben der Gleichwahr­scheinlichkeits-Forderung*) erfüllen, ist eine zusätzliche Steuerung durch einen Zufallsgeber im Gerät notwendig. Während man zunächst hoffte, allein mit einem Schalt­zeitvariator auszukommen, zeigte es sich sehr bald, daß neben diesem noch ein Anlaufvariator notwendig ist, um die Regellosigkeitsforderung zu erfüllen.

a) Nockenscheibe mit Exzenterrädchen

Als Schaltzeitvariator dient in vielen Geräten eine Nockenscheibe mit Exzenterrädchen, welche den Lauf­zeitbeginn des Merkmalsträgers über einen feststehen­den Federsatz schaltet. Während bei dieser Anordnung (Abb. 3) der Kontaktschluß durch Auflaufen bei A ein­tritt, erfolgt die Kontakt-Freigabe entsprechend der Stellung des Exzenterrädchens variierend bei Co, C1 ... , so daß sich damit variierende Laufzeiten des Merkmals­trägers einstellen. Prüft man die Spielergebnisse eines

*) Die Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung wird durch den starr ablaufendenAntriebsmechanismus der Geräte be­günstigt und kann leicht zu periodischen Zahlenfolgen wie z. B. oo = 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 .. . führen, die mit A, = 3 natürlich nicht der Regellosigkeitsforderung genügen; auch auftretende „Sprünge" in der Folge führen nur zu einigen weiteren Delta-Werten.

5Gerätes mit Schaltzeitvariator auf Zufälligkeit, so zeigt sich, daß die Forderung nach Gleichwahrscheinlichkeit erfüllt ist, dagegen auch jetzt nicht die Forderung nach Regellosigkeit. Lassen sich nun Gründe anführen, welche die ungenügende Funktionsweise des Nockens mit Exzen­terrädchen erklären?

Zu untersuchen sind die folgenden Fragen:

a. Verläuft die Steuerung durch den Schaltzeitvariator regellos oder liegt seine Vorbestimmbarkeit, d. h. Berechenbarkeit vor?

b. Inwieweit können die Bauelemente des Gerätes die angebotenen Schaltzeiten des Schaltzeitvariators verarbeiten?

TabelleDie Untersuchung auf Berechenbarkeit erstreckt sich zweckmäßig auf ein idealisiertes Modell, das schwer zu erfassende Faktoren der technischen Ausführung, wie Schlupf und Reibung ausschließt. Aus Gründen der Ver­einfachung soll ferner der Kontaktschließungsbogen mit dem Kreisbogen der Nockenscheibe zusammen­fallen (Abb. 3), C geht damit in D über. Bestimmt man die sich von Spiel zu Spiel ändernden Orte D, so ergibt sich die Nockenlänge A - D6, D1, D2 . . . und bei Vorgabe der Nockenscheiben­umdrehungen die Laufzeit der Merkmalsscheibe. Der Ablauf der Nockenscheibe und des Exzenterrädchens legt die Bestimmung von D nach den Methoden der analytischen Geometrie nahe*). Die Ergebnisse der Be­rechnung von D nach dem angeführten Verfahren sind für zwei Beispiele in Tabelle 1 niedergelegt, wobei der Drehpunkt P für Modell 1 so gewählt ist, daß das Exzen­terrädchen in einer möglichen Stellung den Nocken tan­giert, d. h. daß der Federsatz das Rädchen gerade noch mitnimmt.

Für Modell 1 fällt der geometrische Ort des 16. Spieles D,6 mit dem Ausgangsspiel D6 faktisch zusammen, das bedeutet, daß sich die folgenden Spiele wiederholen. Modell 2 läßt zwar nach 19 Spielen noch keine Periode erkennen, doch ist auch hier eine lange Periode bei optimaler Konstellation der verschiedenen Parameter (Nockenscheibenradius, Nockenradius, Exzenterrädchen­radius, Exzentrizität, Drehpunkt) nicht auszuschließen.

Die hier gezeigte Berechnung des idealisierten Modelles an zwei Beispielen beantwortet die obengestellte Frage dahin, daß der Funktionsablauf des Nockenrades mit Exzenterrädchen nicht regellos erfolgt und somit eine Ursache für das Versagen ist.

Zur zweiten Fragestellung: Betrachtet man beispiels­weise von Modell 2 die dicht beieinanderliegenden Lauf­zeiten des Merkmalsträgers für die Orte D6, D8, D10, Der D14, so stellt sich die Frage, können diese geringen Zeitunterschiede von dem Haltemechanismus so aufge­nommen und weitergegeben werden, daß im Ergebnis 10 unterschiedliche Differenzen gleichhäufig auftreten? Um diese Frage zu beantworten, wurden die Laufzeiten von 200 Spielen aufgenommen und den dazugehörigen

Bewegt sich nach Abb. 3 die Nockenscheibe im Uhrzeiger­sinn, so läuft das Exzenterrädchen in entgegengesetzter Drehrichtung von A1 nach D1 ab, das bedeutet r1 dreht sich um C, = 180° - a1 + ß1. Um den gleichen Winkel bewegt sich der Mittelpunkt des Exzenterrädchens auf dem Mittelpunktkreis mit dem Radius e von M, nach M2, so daß jetzt das Exzenterrädchen den Nocken im Punkte A1 schnei­det. Beim nächsten Umlauf dreht sich r2 um C, = 180° - a2 + ß2 nach D2 u. s. f. Die Schnittpunkte A6, A, ... lassen sich aus den Kreisgleichungen für das Exzenterrädchen und für den Nockenkreis berechnen, während sich die Schnittpunkte D0, D, . sich aus den Kreisgleichungen der Kreise r0, r1 . . . mit dem Kreis d der Nockenscheibe ergeben.

6Differenzen Al zugeordnet. Da eine Umdrehung der in 10 Rastfelder geteilten Merkmalsscheiben in 0,22 s ab­läuft, müßten 10 unterschiedliche Laufzeitgruppen mit einer Zeitdifferenz von rd. 0,02 s in einer Häufigkeit von 20 Laufzeiten je Gruppe, wie es in Abb. 4a dargestellt ist, nachzuweisen sein (durch die eingezeichneten Gren­zen ist der Streubereich festgelegt, innerhalb dessen die Häufigkeit der beobachteten Laufzeiten streuen darf). Die Messungen an dem Schaltzeitvariator zeigen (Abb. 4b) hingegen mehr als 10 Laufzeitgruppen, deren Lauf­zeiten in ungleicher Häufigkeit die Differenzen 0-9 be­stimmen. Gewisse Differenzen werden sowohl durch eine hohe, als auch durch eine niedrige Laufzeitgruppe be­stimmt, sie unterscheiden sich um die Zeit eines vollen Umlaufes der Merkmalsscheibe. Summiert man die Lauf­zeiten gleicher Differenzen - für das Erscheinen einer Differenz ol ist es belanglos, ob diese durch einen Um­lauf mehr oder weniger entsteht -, so erhält man mit Abb. 4c die Verteilung der Häufigkeit der Laufzeiten über die Differenzen 0-9.

Wie die Ergebnisse zeigen, ist die Verteilung der Lauf­zeiten und damit der Schaltzeiten auf die einzelnen Differenzen nicht gleichmäßig, so daß der Streubereich nicht eingehalten wird. Die Ursache dafür ist in dem Verhalten des Variators zu sehen, der dem Haltemecha­nismus mehr als zehn Schaltzeiten anbietet, die dieser nicht in 10 gleichhäufig erscheinende Differenzen ol auf­zunehmen vermag. Um eine Änderung einer Differenz ol herbeizuführen, müssen dem Haltemechanismus Schaltzeiten angeboten werden, die das Vielfache des Wertes von 0,02 s betragen. Eine Änderung um kleinere Beträge, wie es das berechnete Modell ergibt, führt zu einem bevorzugten Erscheinen bestimmter Merkmale, so daß eine Summierung der Laufzeitenanzahl je Laufzeit­gruppe nicht zu einer Gleichverteilung über die Diffe­renzen 0-9 entsprechend Abb. 4a führt.

Da der Nocken mit Exzenterrädchen offensichtlich seine ihm zugedachte Funktion als Zufallsgeber nicht voll er­füllt, wird in den Programmablauf zusätzlich ein Anlauf­variator eingebaut. Dieser besteht aus einem Federsatz, der durch einen weiteren Nocken gesteuert wird. Er ist mit einem Einschaltfedersatz in Reihe geschaltet, so daß das Spiel erst anläuft, wenn beide Federsätze geschlos­sen sind. Der sich drehende Nocken bewirkt eine von Spiel zu Spiel verschiedene Anlaufverzögerung. (Mes­sungen an nur mit Anlaufvariator arbeitenden Spiel­geräten haben ergeben, daß dieses Bauelement die an­gestrebte Gleichwahrscheinlichkeit und Regellosigkeit nicht bewirkt). Das zufallsmäßige Auftreten der Merk­male wird bereits bei 1000 Spielen erreicht, wenn die Programmsteuerung neben den Nockenscheiben mit Exzenterrädchen auch einen Anlaufvariator aufweist. Im Gegensatz zu den Messungen ohne Anlaufvariator weisen nun die Laufzeiten für alle Differenzen ol unter­schiedliche Zeitgruppen auf, sie weichen um Vielfaches der Zeit einer Umdrehung des Merkmalsträgers vonein­ander ab. Die Ursache dafür ist in dem Anlaufvariator zu sehen, der eine zusätzliche Zahl kleiner Laufzeit­gruppen auf Kosten der hohen Laufzeiten anbietet, wie aus dem Vergleich der Abb. 4d und Abb. 4b zu ersehen ist. Summiert man auch hier die Häufigkeit der gemesse­nen Laufzeiten gleicher Differenzen A1, so erhält man, wie Abb. 4e erkennen läßt, die Verteilung der Häufig­keit der Laufzeiten, die nun innerhalb des Streubereiches liegt, und somit die Forderung auf Regellosigkeit erfüllt.

Dieses Ergebnis zeigt, daß es möglich ist, die nicht zufallsmäßig erscheinenden Ereignisse eines durch Nocken mit Exzenterrädchen gesteuerten Spielablaufes durch einen dem Schaltzeitvariator vorgeschalteten An­laufvariator in ein zufällig ablaufendes Spiel umzuwan­deln. Ob dieser Mechanismus der Bedingung für das Erscheinen zufälliger Ereignisse auch einer sehr großen Anzahl von Spielen genügt, darf bezweifelt, wenn nicht gar verneint werden, da es sich sowohl bei dem Schalt­zeitvariator, als auch bei dem Anlaufvariator letztlich um berechenbare, d. h. gesetzmäßige Abläufe handelt. Für die Praxis ist es jedoch ausreichend, wenn sich eine Gesetzmäßigkeit bereits bei einigen tausend Spielen nicht erkennen läßt.

In diesem Zusammenhang sei noch auf die Bedeutung der funktionsgerechten Lagerung des Exzenterrädchens auf seiner Achse am Nockenrand für das zufallsmäßige Erscheinen der Merkmale hingewiesen. Ist eine präzise Mitnahme des Rädchens und seine sichere Fixierung bis zur nächsten Mitnahme nicht gewährleistet, so stellt sich unter Umständen eine Häufigkeitsverteilung ein, die so stark aus der 3 a-Grenze herausfällt, daß der Anlauf­variator, der ja auf den Schaltzeitvariator abgestimmt ist, eine Gleichverteilung nicht mehr herstellen kann.

b7) Dose mit Distanzkörper

Dieser Schaltzeitvariator ermöglicht eine zufallsabhän­gige unterschiedliche Laufzeit der Merkmalsträger da­durch, daß aus einer Anzahl verschieden bemessener Distanzkörper ein Distanzkörper, in einer sich drehenden Dose, durch einen Mischvorgang zufällig gewählt, die Höhe eines veränderbaren Nockens bestimmt und da­durch einen Federkontakt schaltet (Abb. 5) [8]. Die Distanzkörper sind als Rollen mit unterschiedlichen Durchmessern ausgeführt, ihre Mischung erfolgt durch überrollende Bewegung und freies Fallen in der Ebene der Dose. Ein seitliches Ausbrechen der Rollen und damit ein Mischen im Raum erfolgt nicht, da die Raumhöhe der Dose der Rollenlänge entspricht. Beobachtet man den bei jedem Umlauf mitgenommenen Distanzkörper, so so zeigt sich in Abb. 6 für die 10 Distanzkörper (0-9) eine Häufigkeitsverteilung, die der Forderung der Gleichwahrscheinlichkeit.

Der Vorteil dieser Konstruktion liegt nicht allein in der zufallsmäßigen nichtberechenbaren Durchmischung, son­dern auch in der freien Bestimmbarkeit des Durchmessers der Distanzkörper. Durch richtiges Abstufen der Durch­messer der 10 Distanzkörper sollten definierte Lauf­zeiten sich so vorbestimmen lassen, daß den 10 Merk­malen nur 10 Laufzeiten bzw. Laufzeitgruppen entspre­chen. Die Messung in einem Geldspielgerät mit außer Funktion gesetztem Anlaufvariator zeigt in Abb. 7b hin­gegen 13 Laufzeitgruppen, deren Laufzeiten in ungleicher Häufigkeit die Differenzen 0-9 bestimmen. Summiert man auch °fier die Zahl der Laufzeiten gleicher Diffe­renzen, so erhält man in Abb. 7c eine Verteilung, die mit der Differenz 5 bei 200 Spielen gerade die Grenze des Streubereichs einhält. Ein Vergleich dieser Verteilung mit der entsprechenden des Schaltzeitvariators: Nocken mit Exzenterrädchen, zeigt eine augenscheinlich bessere Verteilung, die auch der Idealverteilung Abb. 7 schon recht nahe kommt. Jedoch weiß man aus der A,-Ver­teilung über 1000 Spiele, daß die Differenz 5 doch aus dem Streubereich herausfällt. Die Ursache für das Ver­sagen des Schaltzeitvariators als Zufallsgeber ist in Ein­flüssen bestimmter Bauelemente des Gerätes wie An­trieb, Haltevorrichtung, Schalthebel zu suchen, da die Distanzkörper (Abb. 6) regellos durchmischt werden. Durch den Einbau eines zusätzlichen Anlaufvariators wird die Forderung nach Regellosigkeit erreicht. Abb. 7d zeigt, daß der Anlaufvariator auch hier, wenngleich in geringerem Maße, zu einem Angebot niedriger Lauf­zeiten auf Kosten der hohen Laufzeiten führt. Die Sum­mierung ergibt eine Verteilung, die innerhalb des Streu­bereichs liegt (Abb. 7e).

Literatur

[1] Crone, 1.: Einige Anwendungsmöglichkeiten der Monte­Carlo-Methode, Fortschr. Phys. 3 (1955) S. 97.

[2] Hoerner, S. v.: Herstellung von Zufallszahlen auf Rechen­automaten. Z. f. angew. Math. u. Phys. 8 (1957) S.26.

[3] Hartenstein, R.: Ein elektronischer Zufalisziffernangeber. Elektronik 10 (1961) S. 299.

[4] Mitteilung der C. Lorenz AG: Gerät zur Erzeugung von zufallsmäßig verteilten Impulskombinationen für die Ver­schlüsselung von Fernschreibnachrichten („Würfel­Locher"). SEG-Nachrichten 4 (1956) S. 188.

[5] Generator für aperiodische Auslöseimpulse PT 1371. Techn. Unterlagen d. Fa. Philips Industrie Elektronik GmbH N r. 9,1963.

[6] Mises, R. v.: Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit. Wien: Springer 1951.

[7] Koller, S.: Graphische Tafeln zur Statistik. 3. Aufl., Darm­stadt: D. Steinkopf. 1953.

[8] DBP 1 126 964 v. 5. April 1962.

aus dem Automatenmarkt 5/1966