Text Size

Die Sechzig und die Tücken der Zahlen

(Warnhinweis für Allergiker: Dieses sehr leckere Qualitätsposting kann Spuren von Mathematik enthalten, die zwar sehr unterhaltsam sind, aber bei einigen Menschen Verdauungsprobleme auslösen. Auch Restspuren von Philosophie sind auf Grund des Herstellungsverfahrens nicht auszuschließen.)

Tja, die ominösen sechzig Prozent der alten Spielverordnung - ein an sich ganz einfaches Thema, aber doch immer wieder gut für Verirrungen und Verwirrungen.

 

Diese vorgeschriebenen 60 Prozent bezogen sich (in der alten Spielverordnung) keineswegs auf eine bestimmte Anzahl von Spielen oder auf eine bestimmte Spieldauer, sondern nur auf eine statistische Gewinnerwartung - sie wurden aber meines Wissens seit den späten 60er Jahren bei den Zulassungsstellen durch eine recht große Anzahl von Testspielen an einer Stichprobe des Seriengerätes im Rahmen einer ordentlichen Zulassung geprüft. (Ich habe mal etwas von 200.000 Testspielen gehört, und dieser Wert klingt durchaus realistisch.) Also ein ganz ordentlicher Aufwand zur Klärung einer an sich harmlosen Frage. (Wie bei der vorübergehenden Zulassung von Prototypen vorgegangen wurde, weiß ich nicht, würde ich aber sehr interessant finden...)

Tatsächlich ging die alte Spielverordnung noch von der Möglichkeit aus, dass ein Spiel nach reinem Zufallsprinzip aufgebaut sein könnte - es geht mit mechanischen und elektromechanischen Geräten ja auch nicht anders. Deshalb konnte auch für die Auszahlquote nur ein statistisches Verhalten festgelegt werden. (Übrigens war auch festgelegt, dass ohne Bedienung durch den Spieler im Durchschnitt eines von acht Spielen ein Gewinnspiel sein müsse, und dies ist ebenfalls eine statistische Forderung. Diese Forderung wurde bei der letzten Anpassung ersatzlos gestrichen, was den Automatenbauern ganz neue Möglichkeiten "geballter Gewinnauszahlungen" auf Kosten von kleinen Gewinnen gab - für einen Spieler waren solche Mühlen wie der Twinliner allerdings eher ein gutes Schlafmittel. Man vergleiche einmal die Häufigkeit von Kleingewinnen an einem NSM record 100 mit einer beliebigen heutigen Mühle.)

Das mit der Rechnerei und den Wahrscheinlichkeiten ist so eine Sache, die manch einem nicht einleuchten will. Der Hauptfehler ist's, dass vielen Menschen zu glauben scheinen, der Zufall hätte ein Gedächtnis - in Wirklichkeit sind die zufälligen Ereignisse jedoch voneinander unabhängig. Deshalb ein paar Erläuterungen zur Auszahlquote an einem ganz praktischen und sehr durchschaubaren Beispiel.

Nehmen wir einmal an, ich würde (illegalerweise) ein Glücksspiel anbieten. Die Regeln sind folgende: Man gibt mir einen Euro und darf dafür einmal mit einem ganz normalen Würfel würfeln; und jedes Mal, wenn dabei eine Sechs fällt, gebe ich fünf Euronen als Gewinn zurück. (Am Rande: Obwohl dieses Spiel verboten wäre, wenn's regelmäßig oder auf Absprache oder in der Öffentlichkeit betrieben würde, hätte jeder teilnehmende Spieler eine sehr viel bessere Gewinnerwartung als an den heutigen, völlig legalen Zockmühlen. Der Veranstalter machte aber auch seinen Schnitt dabei.)

Die "Auszahlquote" dieses Angebotes lässt sich sehr einfach errechnen. Mit jedem Spiel wird zufällig einer von sechs möglichen Fällen ermittelt, einer von diesen sechs Fällen ist für den Spieler günstig und führt zu einem Gewinn in fünffacher Einsatzhöhe.

Generell kann man die Auszahlquote aus solchen Informationen folgermaßen berechnen (und das geht wirklich immer, wenn die Anzahl der möglichen Fälle eine bestimmbare und endliche Zahl ist): Die Gewinne für alle günstigen Fälle werden addiert und diese Summe (ich nenne sie im Folgenden "g") wird durch die Anzahl der möglichen Fälle (die ich im Folgenden "n" nenne) geteilt. Einfacher könnte eine Rechnung doch nicht sein.

Machen wir's mal mit dem Würfelspiel. Die Summe der Gewinne auf alle günstigen Fälle (also G) ist 5 Euro, die Anzahl der möglichen Fälle (also n) ist 6. Wir erhalten G/n = 5/6 oder als Dezimalzahl ausgedrückt ca. 0,83 Euro für 1 Euro Einsatz - oder in Prozent (pro cent, also zu Deutsch "Hunderstel") ausgedrückt: 83% der Einsätze werden als Gewinn ausgeschüttet.

Das ist doch wirklich sehr durchschaubar. Nennen wir die gesuchte Quote "Q", und wir haben eine Formel, die kinderleicht anzuwenden ist: Q=G/n. Mühselig bleibt in realistischen Spielen die Bestimmung von G und n, aber die Rechnung ist leicht.

Und wo sind jetzt die Tücken?

Es gibt zwei Tücken. Eine ist ein verbreiteter Fehler im Denken, die zweite ist mit der Komplexität einiger Spiele verbunden - und diese kann sich natürlich auch mit Denkfehlern vermählen und ganz komische Auffassungen hervorbringen, die dann den urbanen Aberglauben vieler Zocker formen.

Erstmal die erste Tücke. Die zufälligen Ereignisse, die man so betrachtet, sind (ich sagte es schon) voneinander unabhängig. Der (echte) Zufall hat kein Gedächtnis, und das wollen viele Menschen nicht recht begreifen. Beim Würfeln wird die Sechs kein bisschen wahrscheinlicher, wenn sie in den letzten 200 Fällen nicht gefallen ist. Die Wahrscheinlichkeit einer Sechs im nächsten Wurf bleibt 1/6. Sie wird auch kein bisschen unwahrscheinlicher, wenn man gerade eine Glückssträhne hatte und acht Sechsen nacheinander würfelte, was einem beim vorgeschlagenen Spiel immerhin um 39 Euronen reicher machte. Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs im nächsten Wurf bleibt 1/6.

Zu den Zeiten der mechanischen Geldspieler waren die Spieler (und die Hersteller der Automaten) mit wirklichem Zufall konfrontiert, die Situation war also durchaus mit dem dummen Würfel(bei)spiel vergleichbar. Und schon damals gab es immer wieder einige Spieler, die sich für besonders intelligent hielten; diese sagten, dass der Kasten ja seine sechzig Prozent geben muss und nun soooo lange nichts mehr gezahlt hat, also der muss jetzt wohl "fällig" sein. Mitnichten war er fällig... der Zufall hat kein Gedächtnis, die einzelnen Zufallsereignisse sind voneinander unabhängig. (Man kann diese Unabhängigkeit der Ereignisse gut mathematisch überprüfen, aber die Darlegung dieser Verfahren würde hier etwas zu weit gehen. Und wer weiß, womöglich ist die Beitragslänge hier noch begrenzt.)

Dennoch stellt sich der Erwartungswert näherungsweise her, wenn man eine sehr große Anzahl von Spielen macht. Je mehr Spiele gemacht werden, desto besser wird die Annäherung an den errechneten Erwartungswert für diese Anzahl Spiele.

(Wer aufmerksam ist, dem fällt auf, dass es gerade etwas "unmathematisch" geworden ist. Es ist tatsächlich möglich, für jede Anzahl von Spielen jedem Bereich (oder genauer: jedem Intervall) von Gewinnsummen einen genauen Erwartungswert zuzuordnen, die dafür erforderlichen, der Statistik entlehnten Methoden sprengen aber wiederum alles, was ich in einem Forum locker darlegen kann. Wer näheren Aufschluss darüber haben will, der findet diesen in jedem anständigen Lehrbuch sehr viel ausführlicher, als er es jemals wissen wollte - aber eben auch auf mindestens neunzig Seiten in sehr kompakter Ausdrucksweise. Kenntnisse der Schulmathematik der Oberstufe sind für's Verständnis erforderlich, und von so einem schrecklichen Integralzeichen darf man sich bei der mathematischen Argumentation auch nicht gleich abschrecken lassen. So viel kann ich aber zusammenfassen: Der mit hoher Wahrscheinlichkeit erreichte Bereich von Gewinnsummen für ein Spiel liegt mit wachsender Anzahl Spiele immer enger um den errechneten Wert.)

Der Spieler hat aber nichts davon, dass sich der erwartete Wert eines Spieles mit einer großen Anzahl Spielen immer genauer herstellt. Wer nach 10.000maligem Würfeln gegen mich festgestellt hat, dass er im Schnitt pro Spiel etwas über 83 Cent gewonnen hat, der hat leider auch festgestellt, dass er pro Spiel einen Euro gesetzt hat - und am Ende eben deshalb über 1600 Euro verloren hat. Dass sich die Zuverlässigkeit der Mathematik als roter Faden durch das unvorhersehbare Spielgeschehen gezogen hat, ist da nur ein schwacher Trost - einmal ganz von der Hornhaut abgesehen, die sich beim 10.000maligen Würfeln wohl auf der Würfelhand bildet.

Der Veranstalter eines Spieles hat hingegen sehr wohl etwas sehr handgreifliches und zählbares davon, dass mathematische Gesetze auch die scheinbare Gesetzlosigkeit des Zufälligen (für Philosophen: des Nicht-Voraussagefähigen) ordnen. Darum werden solche Spiele ja veranstaltet. Ein kleiner Ausflug in das herrliche Spielcasino zu Baden-Baden kann das sehr glänzend belegen. Dieses ganze großartige Ambiente, die wunderschöne Einrichtung, die stilvolle Ausleuchtung - das wurde alles mit diesem kleinen Vorteil des Veranstalters bezahlt und ist damit letztlich ein sehr praktischer Anschauungsunterricht über die aussichtslose Position des Zockers in diesen heiligtümelnden Hallen. Natürlich werden davon auch die Gehälter der Bediensteten und immense laufende Kosten bezahlt, und am Ende bleibt immer noch genug Reibach für das Land Baden-Wüttemberg übrig.

Natürlich kann ein einzelner Spieler dennoch einfach Glück haben. Je weniger Spiele er mit dem Geld macht, das er einsetzen will, desto größer ist die Anzahl der für ihn günstigen Fälle im Verhältnis zur Anzahl der für ihn ungünstigen Fälle. Die beste Strategie für jeden Spieler wäre es also, seinen gesamten Einsatzbetrag in einem einzigen Spiel zu setzen und anschließend nach Hause zu gehen, egal, wie das Spiel verlaufen ist. Aber ich glaube, dass ich für viele hier spreche, wenn ich feststelle, dass so eine Vorgehensweise im Spiel keinen besonderen Spaß macht - und dieses Streben nach Spaß ist eben teuer, es kostet Gewinnerwartung für den Einsatz.

So, ich breche hier mal ab und gehe auf die zweite Tücke ein. Sie ist der Grund dafür, dass man bei der Zulassung von Automaten nicht rechnet, sondern eine große Anzahl Testspiele macht und sich dann auf die Statistik und ihre Methoden verlässt.

Diese besteht in der hohen Komplexität einiger Spiele, insbesondere in der Abhängigkeit einiger Ereignisse von anderen Ereignissen. (Die Bewertung eines Spielergebnisses kann abhängig von vorherigen Spielen sein, das vertrauteste Beispiel hierfür ist, dass in einer Serie zusätzliche Gewinne auftreten und Gewinne erhöht werden. Wenn es dann auch noch besondere Verlängerungsmöglichkeiten in der Serie gibt, dann wird's richtig undurchschaubar.)

Auch hierfür ein ganz einfaches Beispiel mit einem Spiel, wie es primitiver nicht sein könnte. Dazu stelle ich eine ganz einfache Frage, die von den meisten Menschen falsch beantwortet wird.

Und zwar veranstalte ich ein ehrliches (!) Hütchenspiel mit drei Hütchen, unter einem liegt eine Euromünze. Nach einem verwirrenden Mischvorgang weiß der Spieler nicht mehr, unter welchem Hütchen das Geld liegt, ich weiß es hingegen ganz genau - ich hab's ja schließlich sehr routiniert gemischt.

Wenn der Spieler nun ein Hütchen auf gut Glück auswählt, hat er eine Gewinnerwartung von 1/3 Euro. Das ist noch sehr durchschaubar und hat keine besondere Komplexität.

Nun bin ich aber ein Veranstalter, der es für seine Spieler etwas interessanter machen will. Deshalb decke ich, nachdem der Spieler ein Hütchen ausgewählt hat, ein anderes Hütchen auf, unter dem keine Münze lag. Danach frage ich den Spieler, ob er es sich nicht noch einmal überlegen will und lieber auf das andere Hütchen wechseln möchte.

Die Frage ist nun: Verbessert der Spieler seine Gewinnerwartung, wenn er auf das andere Hütchen wechselt? Wie groß ist die Gewinnerwartung des Spielers, wenn er wechselt; und wie groß ist sie, wenn er nicht wechselt? (Ich mache mal ein paar Leerzeilen, um Gelegenheit zu geben, gründlich darüber nachzudenken.)

.

.

 

.

 

.

 

.

 

. (Aber wirklich drüber nachdenken, es ist nicht so einfach, wie es aussieht!)

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

. (Wechseln? Oder vielleicht doch lieber bei der ersten Wahl bleiben?)

 

.

 

.

 

. (1/3? 1/2?)

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

. (Kann die Wahrscheinlichkeit jetzt wirklich 1/2 geworden sein? Sie war doch vorher 1/3.)

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

Dieses verführerisch einfache Beispiel hat (in einer etwas anderen Variante) Marilyn vos Savant im Jahre 1990 in ihrer Kolumne in der Zeitschrift "Parade" behandelt und völlig korrekt gelöst.

 

Sie bekam daraufhin tausende recht böser Leserbriefe, die diese recht intelligente Frau für ihre Dummheit verspotteten. Und als besonders leckerer Pfeffer darauf: Sehr viele dieser Briefe kamen von Mathematikern (!), die ihr immer wieder vorwarfen, dass sie keine Ahnung (!) von Wahrscheinlichkeitstheorie habe - die Wahrscheinlichkeit läge doch klar bei 1/2 und ein Wechsel des Hütchens sei deshalb irrelevant.

 

Also erstmal die Lösung, danach wieder etwas Zeit zum Nachdenken: Wenn das Hütchen gewechselt wird, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3, wenn es nicht gewechselt wird, beträgt sie nur 1/3.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

. (Na, dämmert's?)

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

Und jetzt die Auflösung:

Bei der ersten Wahl hatte der Spieler

- eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 für einen Treffer; und

- eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 für eine Niete

Ich decke nun ein Hütchen auf, von dem ich weiß, dass es eine Niete war. Es ergibt sich die folgende Situation:

- Wenn der Spieler einen Treffer hatte (Wahrscheinlichkeit 1/3), dann ist das andere Hütchen immer eine Niete.

- Wenn der Spieler eine Niete hatte (Wahrscheinlichkeit 2/3), dann ist das andere Hütchen immer der Gewinn.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 wird also in dieser Situation der Gewinn durch den Wechsel des Hütchens erzielt.

Die meisten Menschen (und offenbar sogar einige Mathematiker) denken jedoch anders und damit falsch. Sie sagen, dass dort zwei Möglichkeiten liegen und dass jede mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 der Gewinn sein könnte. Die beiden Wahrscheinlichkeiten werden also um jeweils 1/6 falsch eingeschätzt; und wenn das dazu führt, dass das Hütchen nicht gewechselt wird, ist dies zum Nachteil des Spielers in diesem sehr einfachen Spiel.

Was bei dieser verkürzten Betrachtung außer Acht gelassen wird, ist die Form, in der ein Ereignis von einem anderen, vorhergehenden, zufälligen Ereignis abhängt. Ist das erstmal erkannt, dann ist die Rechnung ein Witz, und jeder aufgeweckte 10jährige versteht das Ergebnis. (Tatsächlich kann man es schon verstehen, wenn man einsieht, dass das bewusste Aufdecken eines leeren Hütchens durch den Veranstalter ja dem Spieler eine zusätzliche Information gibt und dass es in jedem Fall keine Verschlechterung ergeben kann, wenn diese zusätzliche Information in eine Entscheidung einfließt. So kommt man auf die richtige Strategie des Spielers, ohne eine einzige Rechnung gemacht zu haben - kann allerdings den dadurch erzielten Vorteil eben auch nicht quantitativ angeben.)

Kein Witz ist eine solche Rechnung allerdings für GSG mit einem einigermaßen interessanten Spielsystem. Schon eine schlichte 70er Jahre-Kiste wie der Monarch kann durch sein Konzept der Serienverlängerungen erhebliche Kopfschmerzen bereiten, wenn man die genaue Auszahlquote ausrechnen will. Wenn dann auch noch Ausspielungen dazu kommen, Risikoschritte durch Bonusfunktionen automatisch erhöht werden, Gewinnhöhen von Jackpots abhängen oder verschiedene Arten von Serien vorliegen, die unter bestimmten Umständen auch "aufgewertet" werden können, dann wird die Rechnung praktisch undurchführbar, obwohl sie theoretisch immer noch möglich ist.

Und deshalb wurden bei der Zulassung Probespiele gemacht.

Übrigens kann es auch sehr verwirrend sein, wenn man den Einfluss des Nachstarts auf die Auszahlquote ausrechnen will. In der Automatenvorstellung "Monarch" im Münzspielfreund-Bereich ist das auch mal zum Thema geworden, da hier eine falsche Wahrscheinlichkeit von Serienkombinationen angegeben wurde, wenn man den Nachstart nutzt und Betragsfelder kategorisch wegdrückt.

 

Die früher vorgeschriebenen 60 Prozent Auszahlquote bezogen sich immer auf Spiele, auf die der Spieler keinen weiteren Einfluss nimmt (also kein Nachstart, kein Risiko, keine gestarteten Ausspielungen usw.) - und einige Hersteller haben wirklich vorsätzlich Kisten gebaut, die schlechter zahlten, wenn sie so bedient wurden, wie das die meisten Spieler eben taten (also Wegdrücken von Stellungen, die keine Seriensymbole zeigen oder exzessives Risikieren bei jeder sich bietenden Gelegenheit). Dies galt etwa für einige NOVA-Geräte. So ab 1985 musste ein Hinweistext in der Spielbeschreibung darauf hinweisen, dass die Quote unter 60% sinken konnte, wenn dies der Fall war - und das hat offenbar eine heilsame Wirkung auf solche Bestrebungen gehabt.

Mit der Einführung von Stepper und Mikroprozessor hat sich das Spiel schnell vom Zufall entfernt, und die (damals noch) vorgeschriebene Quote wurde mit anderen Mitteln sicher gestellt - mit kleinen Nebenwirkungen der ersten Versuche in der neuen Vorgehensweise ist dieser Thread ja recht gut voll geworden.

Die neue Spielverordnung schreibt keine Quote mehr vor, sondern ein Auszahlverhalten in einem bestimmten Zeitraum; die minimale Quote ergibt sich daraus implizit. (Sie kann jetzt übrigens knapp unter 50 Prozent fallen, wenn das Spiel geeignet aufgebaut wird.) Das ist eine qualitativ andere Form der Regelung, die wie nebenbei festschreibt, dass ein wirklich zufälliges Spiel gar nicht mehr zulassungsfähig ist. Für die Hersteller von Automaten hat sich die Situation damit vereinfacht, und auch die Überprüfung eines Automaten zur Zulassung ist wesentlich einfacher geworden, muss er doch nur noch eine bestimmte Zeit bespielt werden und anschließend die Buchführungsfunktion moderner Geräte genutzt werden. (Ein "geiler Job" für billige und willige Pratikanten, das wird viel Geld sparen!) Deshalb kann wohl auch eine regelmäßige Überprüfung gesetzlich vorgesehen werden, ohne dass mit einem übergroßen Aufwand bei der Durchführung zu rechnen ist.

Und die Spieler? Die werden noch mehr beschissen als je zuvor.